Voraussetzung lineare Regression: Varianzhomogenität (Homoskedastizität)

Die lineare Regression setzt voraus, dass die Varianz der Residuen über alle Ausprägungen der unabhängigen Variablen hinweg konstant ist. Diese Voraussetzung nennt man Varianzhomogenität oder Homoskedastizität. Ist sie verletzt – streuen die Residuen also bei gewissen Werten deutlich stärker als bei anderen – spricht man von Heteroskedastizität.

Heteroskedastizität verzerrt die Koeffizienten selbst nicht, aber sie macht die Standardfehler unzuverlässig. Damit stimmen auch t-Werte, p-Werte und Konfidenzintervalle nicht mehr – und genau darauf stützt sich die Interpretation deiner Ergebnisse.

Diagnose mit dem Residuenplot

Der einfachste Check ist ein Plot der Residuen gegen die gefitteten Werte. In R erhältst du ihn direkt aus dem Regressionsobjekt:

fit <- lm(Agriculture ~ Education, data = swiss)
plot(fit, which = 1)   # Residuals vs Fitted
plot(fit, which = 3)   # Scale-Location-Plot

Bei Homoskedastizität streuen die Punkte gleichmässig als horizontales Band um die Null-Linie. Ein typisches Warnsignal ist eine Trichterform: Die Streuung nimmt mit steigenden gefitteten Werten zu oder ab. Auch der Scale-Location-Plot sollte eine ungefähr horizontale Linie zeigen.

Diagnose mit dem Breusch-Pagan-Test

Ergänzend zum visuellen Check kannst du den Breusch-Pagan-Test verwenden, zum Beispiel mit dem Package lmtest:

library(lmtest)
bptest(fit)

# Beispiel-Output:
#   studentized Breusch-Pagan test
# data:  fit
# BP = 0.19245, df = 1, p-value = 0.6608

Die Nullhypothese des Tests lautet: Die Varianz der Residuen ist konstant (Homoskedastizität). Ein p-Wert über dem Signifikanzniveau (z. B. 0.05) bedeutet, dass die Nullhypothese nicht verworfen wird – es gibt keine Evidenz für Heteroskedastizität. Ein kleiner p-Wert spricht dagegen für eine Verletzung der Voraussetzung.

Wichtig: Verlasse dich nie ausschliesslich auf den Test. Bei kleinen Stichproben hat er wenig Power, bei sehr grossen schlägt er schon bei praktisch irrelevanten Abweichungen an. Betrachte Test und Residuenplot immer zusammen.

Was tun bei Heteroskedastizität?

Wenn die Varianzhomogenität verletzt ist, hast du mehrere Möglichkeiten – welche sinnvoll ist, hängt von deinen Daten und deiner Fragestellung ab:

• Robuste Standardfehler: Die gängigste Lösung. Die Koeffizienten bleiben unverändert, aber die Standardfehler werden korrigiert. In R zum Beispiel mit den Packages sandwich und lmtest:

library(sandwich)
library(lmtest)
coeftest(fit, vcov = vcovHC(fit, type = "HC3"))

• Transformation der abhängigen Variablen:Eine Log-Transformation stabilisiert die Varianz oft, wenn die Streuung mit dem Niveau der Variablen wächst (z. B. bei Einkommen oder Preisen). Beachte, dass sich dadurch die Interpretation der Koeffizienten ändert.
• Gewichtete Regression (WLS): Wenn die Struktur der Varianz bekannt ist, kann eine Weighted-Least-Squares-Schätzung effizienter sein als OLS mit robusten Standardfehlern.
• Modell überdenken: Heteroskedastizität ist manchmal ein Symptom eines fehlspezifizierten Modells – etwa einer fehlenden Variablen oder eines nicht-linearen Zusammenhangs. Prüfe deshalb auch die übrigen Voraussetzungen.

Berichten im Ergebnisteil

Dokumentiere in deiner Arbeit kurz, wie du die Voraussetzung geprüft hast (Residuenplot, Breusch-Pagan-Test) und wie du auf eine allfällige Verletzung reagiert hast – zum Beispiel: «Aufgrund von Heteroskedastizität (Breusch-Pagan-Test, p < .05) wurden heteroskedastizitätsrobuste Standardfehler (HC3) berichtet.» Damit zeigst du der Betreuung, dass deine Inferenz auf einer soliden Grundlage steht.

Begleitende Unterstützung

Falls du das gezeigte Verfahren für deine eigene Bachelor- oder Masterarbeit nutzen willst, ist eine kurze Vorabklärung mit uns oft hilfreich. Wir prüfen, ob die Voraussetzungen zu deinen Daten passen und welche Alternativen sinnvoll sind.